Bonus-malus i system holenderski: jak matematyka kształtuje Twoją składkę OC/AC

Udostępnij:

17 Lipiec 2026

W świecie ubezpieczeń kluczową rolę odgrywa system bonus-malus, nagradzający bezszkodową jazdę i nakładający zwyżki za stłuczki. Każda składka, którą płacisz za polisę OC czy AC, jest wynikiem zaawansowanych obliczeń aktuarialnych. W tym artykule przyjrzymy się, jak matematyka definiuje ryzyko ubezpieczeniowe, w jaki sposób ubezpieczyciele obliczają składki oraz jak Twoja historia za kierownicą ostatecznie kształtuje cenę ubezpieczenia.

Co to jest bonus - malus?

System bonus malus służy do wyceniania ubezpieczeń na podstawie historii szkód. Zasada jest prosta:

Bonus — jeśli nie było szkody w danym roku, w kolejnym roku płacisz niższą składkę (zniżka).
Malus — jeśli była szkoda (zwłaszcza z własnej winy), w kolejnym roku płacisz wyższą składkę (dopłata/kara).

Holenderski system

W latach 70. XX wieku na holenderskim rynku ubezpieczeń samochodowych trwała prawdziwa wojna cenowa. Firmy ubezpieczeniowe, żeby zdobyć jak najwięcej klientów, obniżały składki do poziomu, który zagrażał ich własnej stabilności finansowej. Żeby zapanować nad tą sytuacją, potrzeba było czegoś więcej niż tylko przeczucia czy walki konkurencyjnej — dlatego kluczową rolę odegrały instytucja nadzorująca rynek oraz pięć największych holenderskich firm ubezpieczeniowych, które postanowiły oprzeć wysokość składek na rzetelnych danych.

Przeanalizowano wtedy ogromny zbiór danych: 700 tysięcy polis samochodowych, 80 tysięcy zgłoszonych szkód i aż 50 różnych cech opisujących kierowców i ich auta. Chodziło o to, żeby sprawdzić, co tak naprawdę wpływa na ryzyko wypadku. Problem w tym, że najważniejsze rzeczy — jak to, czy ktoś jeździ agresywnie — trudno jest w ogóle zmierzyć. Na szczęście okazało się, że takie cechy da się częściowo "wyczytać" z innych, łatwiejszych do zmierzenia danych. Z analizy wyciągnięto następujące wnioski:

Cięższe samochody częściej powodują wyższe szkody. Ma to dwa wytłumaczenia: po pierwsze, ciężkie auto po prostu robi więcej zniszczeń w razie kolizji; po drugie, takie samochody są częściej używane jako auta firmowe, więc jeżdżą więcej.
Moc silnika prawie nie ma znaczenia. Może się to wydawać dziwne, ale mocne, sportowe auta są zwykle używane rzadko, więc mimo pozorów nie generują wielu szkód.
Cena samochodu ma znaczenie tylko dla szkód z autocasco (AC), czyli tych dotyczących własnego pojazdu. Dla szkód z OC (czyli tych wyrządzonych innym) cena auta nie ma już znaczenia.
Wcześniejsze szkody dobrze przewidują przyszłe. Jeśli ktoś miał w przeszłości szkody, jest bardziej prawdopodobne, że będzie je mieć też w przyszłości.
Zła historia jest gorsza niż brak historii w ogóle. Innymi słowy, lepiej być nowym kierowcą bez żadnej historii niż kierowcą, który już spowodował kilka szkód.
Miejsce zamieszkania ma znaczenie. W niektórych regionach po prostu zdarza się więcej szkód niż w innych.
Wiek kierowcy jest kluczowy. 18-latek statystycznie powoduje około 4 razy więcej wypadków niż kierowca w wieku 30–70 lat.
Dla młodych kierowców nie robi się osobnych taryf — po prostu płacą wyższą składkę bazową w tych samych tabelach co reszta kierowców.
Płeć nie jest brana pod uwagę przy ustalaniu ceny.
Marka samochodu ma znaczenie, ale świadomie się jej nie uwzględnia — powód jest czysto rynkowy: żeby nie faworyzować ani nie karać konkretnych producentów w konkurencji między sobą.
Dokładniejsze dane dałyby lepszy wynik, ale za cenę komplikacji. Można by jeszcze precyzyjniej liczyć ryzyko, biorąc pod uwagę pełną wartość szkody, ale wtedy cały system stałby się zbyt skomplikowany, żeby dało się go wygodnie stosować.

Na podstawie tych wniosków w 1982 roku stworzono tabelę taryf, która posłużyła jako podstawa systemu bonus-malus na rynku holenderskim.

$$\begin{array}{cc\|cccc} & & \rlap{\hspace{1.8em}\text{Liczba wypadków}} & & & \\ \text{Grupa} & \%\ \text{składki} & \quad 0 \quad & \quad 1 \quad & \quad 2 \quad & \quad 3+ \quad \\ \hline 14 & 30 & 14 & 9 & 5 & 1 \\ 13 & 32.5 & 14 & 8 & 4 & 1 \\ 12 & 35 & 13 & 8 & 4 & 1 \\ 11 & 37.5 & 12 & 7 & 3 & 1 \\ 10 & 40 & 11 & 7 & 3 & 1 \\ 9 & 45 & 10 & 6 & 2 & 1 \\ 8 & 50 & 9 & 5 & 1 & 1 \\ 7 & 55 & 8 & 4 & 1 & 1 \\ 6 & 60 & 7 & 3 & 1 & 1 \\ 5 & 70 & 6 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 80 & 5 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 90 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 100 & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 120 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$$

Na czym ona polega?

Kierowca bez historii wchodzi do grupy 2, natomiast młody kierowca wchodzi do grupy 1. Grupa 14 to najlepsza możliwa pozycja — kierowca w niej płaci jedynie 30% składki bazowej, natomiast grupa 1 to pozycja najgorsza, wiążąca się z dopłatą w wysokości 120% składki bazowej. Im wyższy numer grupy, tym niższa składka — system nagradza więc kierowców z długą historią bezszkodową.

Pozostałe cztery kolumny (0, 1, 2, 3+) pokazują, do której grupy przechodzi kierowca w kolejnym okresie rozliczeniowym, w zależności od liczby wypadków (szkód) zgłoszonych w badanym okresie:

kolumna 0 — brak wypadków → kierowca awansuje do wyższej grupy (np. z grupy 8 do grupy 9),
kolumna 1 — jeden wypadek → kierowca cofa się o kilka grup (np. z grupy 8 do grupy 5),
kolumna 2 — dwa wypadki → jeszcze większy spadek (np. z grupy 8 do grupy 1),
kolumna 3+ — trzy lub więcej wypadków → kierowca ląduje w grupie 1, niezależnie od tego, z której grupy startował.

Widać wyraźnie, że system silniej "karze" za pierwszą szkodę niż za bezszkodową jazdę "nagradza" — pojedynczy wypadek potrafi cofnąć kierowcę o kilka poziomów, podczas gdy awans następuje tylko o jeden poziom rocznie.

Przykład: różnica w składce między jazdą bezszkodową a szkodową

Wyobraź sobie, że dzielimy wszystkich kierowców na dwie umowne grupy:

"dobrzy" kierowcy — powinni płacić niższą składkę, oznaczmy ją literą $a$
"źli" kierowcy — powinni płacić wyższą składkę, oznaczmy ją literą $c$

gdzie oczywiście $a<c$ (dobry płaci mniej niż zły).

Zamiast patrzeć na całą historię kierowcy, patrzymy tylko na dwa ostatnie lata i przypisujemy go do jednego z trzech stanów:

Stan 1 — miał szkodę w zeszłym roku,
Stan 2 — w zeszłym roku szkody nie było, ale rok wcześniej — tak,
Stan 3 — nie miał szkody ani w zeszłym, ani w przedostatnim roku (czyli jeździ bezpiecznie od dawna).

Intuicja jest prosta: kierowcy naprawdę ostrożni powinni z czasem "osiadać" w stanie 3, a kierowcy ryzykowni — częściej krążyć między stanem 1 i 2.

Jak modelujemy "ryzykowność" kierowcy?

Wprowadzamy jedną liczbę, która opisuje, jak często dany kierowca w ogóle powoduje szkodę w ciągu roku:

dla dobrego kierowcy: prawdopodobieństwo szkody w danym roku to $p$,
dla złego kierowcy: to prawdopodobieństwo to $q$.

i zakładamy $q>p$ — zły kierowca po prostu częściej powoduje szkody. To jedyna różnica matematyczna między "dobrym" a "złym" kierowcą w tym modelu — cała reszta wynika z niej automatycznie.

Macierz przejścia — czyli "reguły gry"

Reguły są następujące:

Jesteśmy w stanie 1, brak szkody - przejście do stanu 2, szkoda - pozostanie w stanie 1.
Jesteśmy w stanie 2, brak szkody - przejście do stanu 3, szkoda - wracamy do stanu 1.
Jesteśmy w stanie 3, brak szkody - zostajemy w stanie 3, szkoda - wracamy do stanu 1.

Każda szkoda "resetuje" Cię do stanu 1 (najgorszego), a każdy rok bez szkody przesuwa Cię o jeden stan w stronę stanu 3 (najlepszego).

Zapisujemy to jako macierz przejścia $P$ — tabelkę liczb, gdzie w wierszu $i$, kolumnie $j$ stoi prawdopodobieństwo przejścia ze stanu do stanu :

$1-p$

Wiersz mówi, z którego stanu startujemy, kolumna — do którego trafiamy. Np. drugi wiersz oznacza: będąc w stanie $2$, z prawdopodobieństwem trafiasz do stanu $1$ (bo miałeś szkodę), a z prawdopodobieństwem $1-p$ do stanu $3$ (bo szkody nie było). Do stanu $2$ z powrotem nigdy nie wracasz w jednym kroku — stąd zero na przekątnej w tym miejscu.

Podstawmy konkretne liczby:

$p=0,1$ (dobry kierowca ma szkodę raz na 10 lat średnio),
$q=0,3$ (zły kierowca ma szkodę raz na ~3 lata średnio),
$a=700$ zł (składka w stanie 3),
$c=900$ zł (składka w stanach 1 i 2).

Macierz przejścia dla dobrego kierowcy wygląda więc tak:

$$
P
=
\begin{bmatrix}
0{,}1 & 0{,}9 & 0 \\
0{,}1 & 0 & 0{,}9 \\
0{,}1 & 0 & 0{,}9
\end{bmatrix}
$$

Śledzimy jednego, konkretnego kierowcę rok po roku

Załóżmy, że nasz dobry kierowca zaczyna jeżdżenie w stanie 3 (czyli traktujemy go, jakby od dawna nie miał szkody). Zapisujemy to jako wektor:

$$
\ell^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

czyli: 0% szans, że jest w stanie 1, 0% że w stanie 2, 100% że w stanie 3 — bo tak go na start umówiliśmy.

Żeby policzyć, gdzie będzie po roku, mnożymy ten wektor przez macierz $P$. To jest właśnie sedno — nie trzeba w to wnikać głębiej niż: "biorę obecny rozkład prawdopodobieństw i przepuszczam go przez reguły przejścia".

$$
\ell^{(1)} = \ell^{(0)} \cdot P = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0 & 0{,}9 \end{pmatrix}
$$

Skoro na pewno zaczynał w stanie 3, to po roku z prawdopodobieństwem $p=0,1$ ma szkodę (i ląduje w stanie 1), a z prawdopodobieństwem nie ma szkody i zostaje w stanie 3.

Robimy to jeszcze raz żeby zobaczyć rok drugi

$$
\ell^{(2)} = \ell^{(1)} \cdot P = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}09 & 0{,}81 \end{pmatrix}
$$

i sprawdzić rok trzeci:

$$
\ell^{(3)} = \ell^{(2)} \cdot P = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}09 & 0{,}81 \end{pmatrix} = \ell^{(2)}
$$

Zauważ: $\ell^{(3)}$ wyszło identyczne jak $\ell^{(2)}$! To znaczy, że doszliśmy do punktu, w którym dalsze mnożenie przez $P$ już niczego nie zmienia — kierowca "ustabilizował się" w pewnym rozkładzie prawdopodobieństw. Taki punkt nazywamy rozkładem stacjonarnym — to długookresowy, ustalony procent czasu, jaki kierowca (statystycznie) spędza w każdym ze stanów.

Co ten rozkład stacjonarny mówi nam w praktyce?

W długim okresie dobry kierowca przez 81% lat będzie w najlepszym stanie (najniższa składka), a zły — tylko przez 49% lat. To dokładnie to, czego intuicyjnie oczekiwaliśmy — model matematyczny potwierdza zdrowy rozsądek.

Ile to znaczy w złotówkach?

Skoro znamy, ile czasu (procentowo) kierowca spędza w każdym stanie, możemy policzyć średnią składkę, jaką faktycznie zapłaci w długim okresie — to po prostu średnia ważona:

Dla dobrego kierowcy:

700⋅0,81+900⋅0,19=738 zł

Dla złego kierowcy:

700⋅0,49+900⋅0,51=802 zł

Mimo że "widełki" składki to tylko 700–900 zł, w długim okresie zły kierowca płaci średnio 64 zł więcej niż dobry. System bonus-malus rzeczywiście różnicuje ryzyko — ale nie w pełni: nawet zły kierowca sporo czasu (49%) spędza w najtańszym stanie, bo trafiają mu się też lata bez szkody. To pokazuje, że taki system nigdy nie jest "idealnie sprawiedliwy" — jest raczej statystycznym przybliżeniem, które działa dobrze na dużej populacji kierowców, a nie gwarancją dopasowania ceny do konkretnej osoby.