Modelowanie Ryzyka w Ubezpieczeniach: Przykład Mazdy CX-5

Udostępnij:

W świecie ubezpieczeń i finansów kluczową rolę odgrywa precyzyjne modelowanie matematyczne. Przyjrzymy się, jak matematyka definiuje ryzyko, w jaki sposób ubezpieczyciele obliczają składki, jak mierzy się potencjalne straty oraz podamy praktyczne przykłady.

Czym jest ryzyko ubezpieczeniowe?

Z matematycznego punktu widzenia, ryzyko nie jest pojęciem abstrakcyjnym. Definiuje się je jako zmienną losową (oznaczaną jako $X$), która jest prawie na pewno nieujemna. Zmienna opisuje wartość przyszłej szkody lub związanego z nią odszkodowania.

Aby badać własności probabilistyczne ryzyka $X$ można je utożsamić z jego dystrybuantą (to znaczy z dystrybuantą $F_X$). Zanim przejdziemy do zasad kalkulacji składki musimy zrozumieć pojęcie kwantyla:

Kwantyl rzędu $p \in (0,1)$ typu dyskretnego – jest to liczba $x$, która spełnia dwa warunki związane z dystrybuantą:
- granica lewostronna dystrybuanty w punkcie x jest mniejsza lub równa p ($F(x^-) \leq p$)
- wartość dystrybuanty w punkcie x jest większa lub równa p ($F(x) \geq p$)
Kwantyl rzędu $p \in (0,1)$ typu ciągłego – jest to liczba $x_p$, dla której poniższe warunki są równoważne:
- wartość dystrybuanty wynosi dokładnie $p$ ($F(x_p)=p$)
- pole pod wykresem gęstości od $-\infty$ do $x_p$ wynosi $p$ ($\int_{-\infty}^{x_p} f(x)dx =p$)

Zasady kalkulacji składki

Składkę $\pi(x)$ pobieraną przez zakład ubezpieczeń za ubezpieczenie ryzyka (szkody) opisanej przy pomocy zmiennej losowej $X$ można wyliczyć stosując następujące zasady:

Zasada składki netto: składka pokrywa jedynie średnią wartość szkody ($\pi(x) = \mathbb{E}[X]$).
Zasada wartości oczekiwanej: do składki netto dodaje się narzut bezpieczeństwa $\theta>0$, który pokrywa koszty i ryzyko ubezpieczyciela ($\pi(x)=(1+\theta)\mathbb{E}[X]$).
Zasada wariancji: im bardziej zmienne (nieprzewidywalne) są szkody, tym wyższa składka ($\pi(x)=\mathbb{E}[X]+\alpha Var[X]$).
Zasada odchylenia standardowego: klient płaci za średnią szkodę plus dodatkową opłatę za to, jak szeroki jest wachlarz możliwych scenariuszy – od drobnej rysy po szkodę całkowitą ($\pi(x)=\mathbb{E}[X]+\alpha \sqrt{Var[X]}$).
Zasada wykładnicza: ryzyko ma rozkład, w którym prawdopodobieństwo dużych szkód maleje powoli ($\pi(x)=\frac{1}{\alpha}\ln{(\mathbb{E}[e^{\alpha X}])}$).
Zasada Esschera: w ubezpieczeniach służy jako "ważona" wartość oczekiwana ($\pi(x)=\frac{\mathbb{E}[Xe^{hX}]}{\mathbb{E}[e^{hX}]}$).
Zasada skorygowana o ryzyko: polega na "zniekształceniu" prawdopodobieństwa, aby sztucznie powiększyć ryzyko przed obliczeniem całki ($\pi(x)= \int_{0}^{\infty}[1-F(x)]^\frac{1}{\rho} dx$).

Co to jest Value-at-Risk?

Value-at-Risk na poziomie ufności $p$ (oznaczane jako $VaR_p(X)$) to dolny kwantyl rzędu $p$ zmiennej losowej $X$. Formalnie jest to odwrotność dystrybuanty $F_X^{-1}(p)$. Jest to wartość straty, która nie zostanie przekroczona z prawdopodobieństwem $p$. Wartość $VaR$ zależy bezpośrednio od założonego rozkładu prawdopodobieństwa szkód:

Rozkład wykładniczy ($X \sim Exp(\lambda)$): stosowany do modelowania czasu do wystąpienia szkody lub wielkości małych szkód. Dla tego rozkładu korzystamy ze wzoru:
$$VaR_p(X)= - \frac{\ln{(1-p)}}{\lambda}$$
Rozkład normalny ($X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$): stosowany, gdy sumujemy wiele niezależnych ryzyk. Tutaj $VaR$ zależy od średniej $\mu$, odchylenia $\sigma$ oraz kwantyla standardowego rozkładu normalnego $\Phi^{-1}(p)$:
$$VaR_p(X)= \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) + \mu$$

Przykład: Mazda CX-5 (2020)

W ubezpieczeniach cena, którą widzi klient, nigdy nie jest przypadkowa. Jest wynikiem precyzyjnych kalkulacji opartych na rachunku prawdopodobieństwa. Opierając się na powyższej wiedzy prześledzimy krok po kroku proces wyceny – od definicji ryzyka po zabezpieczenie kapitałowe. Jako przykład posłuży nam Mazda CX-5 (rocznik 2020), charakteryzująca się średnim kosztem naprawy na poziomie 7500 zł.

Krok 1: Składka Netto

Pierwszym krokiem jest ustalenie "sprawiedliwej" ceny, która pokryłaby same straty, bez żadnych kosztów dodatkowych. Definiujemy ryzyko ubezpieczeniowe $X$ jako nieujemną zmienną losową. Podstawową metodą wyceny jest Zasada Składki Netto:

$$\pi(x) = \mathbb{E}[X] = 7 500 \text{ zł}$$

Wartość 7500 zł to matematyczny fundament wyceny, nazywany składką netto. Kwota ta wynika wprost z rachunku prawdopodobieństwa i odzwierciedla średni koszt naprawy przypadający na jedno auto w dużej grupie ubezpieczonych. Jest to absolutne minimum techniczne – gdyby cena polisy była niższa, zebrane składki nie wystarczyłyby na pokrycie wszystkich szkód.

Krok 2: Składka Rynkowa

Średnia to za mało, bo szkody są zmienne. Raz pęknie zderzak, a raz skasowany zostanie cały przód. Ubezpieczyciel musi doliczyć opłatę za tę niepewność. Stosujemy Zasadę Odchylenia Standardowego:

$$\pi(x)=\mathbb{E}[X]+\alpha \sqrt{Var[X]} = 7500 + 0,4 \cdot 7500 = 10500 \text{ zł}$$

Składka rynkowa obejmuje dodatkowy narzut związany z nieprzewidywalnością zdarzeń. Ponieważ koszty likwidacji szkody mogą drastycznie różnić się w zależności od scenariusza (od 500 zł do nawet 40 000 zł), ubezpieczyciel musi zabezpieczyć się przed tą zmiennością. Opłacając składkę, klient przenosi ciężar obsługi tych wahań na ubezpieczyciela, zyskując gwarancję pokrycia kosztów niezależnie od skali szkody.

Krok 3: Bezpieczeństwo Finansowe

Po zainkasowaniu składek ubezpieczyciel staje przed wyzwaniem odpowiedniej alokacji kapitału. Konieczne jest oszacowanie marginesu bezpieczeństwa – czyli kwoty rezerw niezbędnej do zachowania płynności finansowej w momentach nadzwyczajnych, wykraczających poza standardową szkodowość. Korzystamy ze wzoru:

$$VaR_p(X)= - \frac{\ln{(1-p)}}{\lambda}$$

Wskaźnik $VaR$ pełni funkcję gwaranta stabilności finansowej towarzystwa. Policzmy konkretne kwoty dla naszej Mazdy, używając parametru $\lambda=\frac{1}{7500}$:

Scenariusz A: poziom ufności $90 \%$ (częste szkody)
$$VaR_{0,90}= - \frac{\ln{(1-0,9)}}{\frac{1}{7500}} \approx 17250 \text{ zł}$$ Kwota 17250 zł wyznacza w tym modelu granicę między szkodami standardowymi a poważniejszymi incydentami. Mówiąc obrazowo: w przypadku $90\%$ zgłoszonych roszczeń dla tego modelu Mazdy, koszt naprawy zmieści się w tym limicie.

Scenariusz B: poziom ufności $99 \%$ (poważne wypadki)
$$VaR_{0,99}= - \frac{\ln{(1-0,99)}}{\frac{1}{7500}} \approx 34500 \text{ zł}$$ Kwota 34500 zł chroni ubezpieczyciela niemal w każdej sytuacji. Przy poziomie ufności $99\%$ mówimy o scenariuszach rzadkich – statystycznie zdarzających się raz na 100 szkód.

Wnioski

Analiza ta wyjaśnia, dlaczego składka za ubezpieczenie nowoczesnego auta (Mazda z 2020 r.) musi być wyższa niż statystyczny koszt jego naprawy. Klient, płacąc 10500 zł, nie kupuje tylko przedpłaty na ewentualną naprawę (wycenianą średnio na 7500 zł). Różnica w cenie to opłata za matematyczną gwarancję bezpieczeństwa.